Да се докаже, че за естествено число \(n > 2\) и различни положителни реални числа \(b\) и \(c\),
\[2b^n - (b+c)^{n-1}(b-c) \neq 2c^n + (b+c)^{n-1}(b-c).\]
Доказателство
Да допуснем, че съществува някое естествено число \(n > 2\) и положителни различни реални числа \(b, c\), за които:
\[2b^n - (b+c)^{n-1}(b-c) = 2c^n + (b+c)^{n-1}(b-c)\]
С преобразуване получаваме \(2b^n - 2c^n = 2(b+c)^{n-1}(b-c)\), следователно
\[b^n - c^n = (b+c)^{n-1}(b-c). \qquad (\star)\]
Тъй като \(b \neq c\), то \(b - c \neq 0\), следователно можем да разделим двете страни на \(b-c\):
\[\frac{b^n - c^n}{b-c} = b^{n-1} + b^{n-2}c + b^{n-3}c^2 + \cdots + bc^{n-2} + c^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1-k}c^k,\]
равенство \((\star)\) става
\[\sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1-k}c^k = (b+c)^{n-1}. \qquad (\star\star)\]
Като разложим двучлена в дясната страна, използвайки биномната теорема:
\[(b+c)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} b^{n-1-k}c^k\]
и извадим лявата страна на \((\star\star)\) от дясната страна:
\[(b+c)^{n-1} - \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1-k}c^k = \sum_{k=0}^{n-1} \left(\binom{n-1}{k} - 1\right) b^{n-1-k}c^k.\]
За коефициентите \(\binom{n-1}{k} - 1\) имаме:
- За \(k = 0\) и \(k = n-1\): коефициентът е \(1 - 1 = 0\).
- За \(1 \le k \le n-2\): тъй като \(n > 2\), то \(n - 1 \geq 2\), следователно \(\binom{n-1}{k} \geq \binom{n-1}{1} = n-1 \geq 2\), откъдето \(\binom{n-1}{k} - 1 \geq 1 > 0\).
Нещо повече, интервалът \(1 \leq k \leq n-2\) е непразен (съдържа поне \(k=1\), тъй като \(n \geq 3\)), и понеже \(b, c > 0\), всеки едночлен \(b^{n-1-k}c^k\) е стриктно положителен. Следователно
\[(b+c)^{n-1} - \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1-k}c^k > 0,\]
т.е. \((b+c)^{n-1}\) е по-голямо от лявата страна на \((\star\star)\). Това противоречи на \((\star\star)\).
Следователно допускането за равенство не може да е изпълнено. \(\blacksquare\)
Бележка
В основата на доказателството е, че при \(n > 2\) в сумата \(b^{n-1} + b^{n-2}c + \cdots + c^{n-1}\) отсъстват биномните коефициенти \(\binom{n-1}{k}\), които се явяват в \((b+c)^{n-1}\), и тези биномни коефициенти са стриктно по-големи от \(1\) за вътрешните едночлени след разлагането на двучлена чрез Нютоновия бином.
Сем. Чатоеви